高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)在經(jīng)過第一學(xué)期地毯式的基礎(chǔ)復(fù)習(xí)后,第二學(xué)期將轉(zhuǎn)入專題和綜合復(fù)習(xí),以提升學(xué)生綜合能力。分析近幾年上??碱}可以看出:五種互化能力的考查是每年的重點?,F(xiàn)將五種互化方法介紹如下:
量的變與不變
常量和變量的定義:我們在觀察某一現(xiàn)象的過程時,常常會遇到各種不同的量,其中有的量在過程中不起變化,我們把其稱之為常量;有的量在過程中是變化的,也就是可以取不同的數(shù)值,我們則把其稱之為變量。
在數(shù)學(xué)里常量與變量是一對矛盾,變量反映的是一個過程,而常量就是變量在某一時刻的值.研究問題時,變量有時“受制”,常量有時“不常”,即使是“常值”,也可能需要討論其取不同值的情況下,所引起的不同變化,如我們熟悉的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的底數(shù).不要把常量看死,而把它看作變量,放在一個過程中研究,往往會得到巧妙的方法.
有關(guān)量的“變”與“不變”辨證關(guān)系的考查,理科試卷近年來多有涉及。如04年22(3),06年文22題,06年理16題,07年20(3)等。
整體與部分
解數(shù)學(xué)問題時,人們常習(xí)慣于把它分成若干個簡單的問題,然后在各個擊破,分而治之。有時,研究問題若能有意識地放大考察問題的“視角”,將需要解決的問題看作一個整體,通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu),并注意已知條件及待求結(jié)論在這個“整體”中的地位和作用,然后通過對整體結(jié)構(gòu)的調(diào)節(jié)和轉(zhuǎn)化使問題獲解。
例如化整為零。分類討論是化整為零的最典型代表。07年高考(Q吧)突出了這一思想的考察,如19(1)題設(shè)計了對a的討論,考查學(xué)生通過主動分類,從定義出發(fā)證明函數(shù)的奇偶性。20(3)題設(shè)計了數(shù)列的項數(shù)為動態(tài)情況下的求和問題,由于項數(shù)不同數(shù)列的對稱情況也不同,考查學(xué)生在在動態(tài)情況下,是否能把我數(shù)列的本質(zhì),和是否有清楚的分類意識。21(3)設(shè)計了考生在探索研究的過程中,是否能挖掘出潛在的分類要求。
代數(shù)與幾何
代數(shù)與幾何的互化就是把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的陪襯圖形有機(jī)地結(jié)合起來思考,促使抽象思維與形象的和諧復(fù)合,通過對規(guī)范圖形或示意圖形的觀察分析,化抽象為直觀,化直觀為精確,從而使問題得到簡捷解決。
縱觀幾年來的高考試題,以“數(shù)形結(jié)合的巧妙運用”解決的問題屢屢皆是。
數(shù)學(xué)解題中的數(shù)形結(jié)合,具體地說,就是在對題目中的條件和結(jié)論既分析其代數(shù)含義又分析其幾何含義,力圖在代數(shù)與幾何的結(jié)合上去找出解題思路。這是一個極富數(shù)學(xué)特色的信息轉(zhuǎn)換。
進(jìn)行數(shù)形結(jié)合有三個主要途徑:(1)通過坐標(biāo)系。(2)轉(zhuǎn)化。(3)構(gòu)造。比如構(gòu)造一個幾何圖形,構(gòu)造一個函數(shù)等。
函數(shù)、方程、不等式
函數(shù)和方程是密切相關(guān)的,對于函數(shù)y=f(x),當(dāng)y=0時,就轉(zhuǎn)化為方程f(x)=0,也可以把函數(shù)式y(tǒng)=f(x)看做二元方程y-f(x)=0。函數(shù)問題(例如求反函數(shù),求函數(shù)的值域等)可以轉(zhuǎn)化為方程問題來求解,方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解,如解方程f(x)=0,就是求函數(shù)y=f(x)的零點。
函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化,對于函數(shù)y=f(x),當(dāng)y>0時,就轉(zhuǎn)化為不等式f(x)>0,借助于函數(shù)圖像與性質(zhì)解決有關(guān)問題,而研究函數(shù)的性質(zhì),也離不開解不等式。
數(shù)列的通項或前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù),用函數(shù)的觀點處理數(shù)列問題十分重要。
解析幾何中的許多問題,例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問題,需要通過解二元方程組才能解決,涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論。
實際問題與數(shù)學(xué)
應(yīng)用能力是上海卷必考的內(nèi)容,但每年考查的側(cè)重面略有差異。07年考的是18題增長率的問題。08年春考幾何問題。
數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,常見的規(guī)律:(1)最值問題—可建立函數(shù)模型。(2)相等和不等問——可建立方程和不等式。(3)細(xì)胞分裂、存貸款問題、增長率問題——可建立數(shù)列模型。(4)曲線問題——可建坐標(biāo)系用解析幾何。(5)水桶,水渠,大壩——可考慮立體幾何模型。(6)涉及角的問題——可建立三角函數(shù)模型。(7)計數(shù)問題:可用排列與組合模型。
作者: □育才中學(xué)尹德好
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